Poznata je stvar da omjer uzastopnih Fibonaccijevih brojeva teži u zlatni rez:
drugim riječima, za iracionalan broj možemo lagano pronaći vrlo kvalitetnu aproksimaciju racionalnim brojem, primjerice:
Pitanja: kako poopćiti ovaj rezultat (primjerice za aproksimaciju drugog korijena prirodnih brojeva), te koja je brzina konvergencije tako dobivenog postupka?
Pretpostavimo da želimo aproksimirati iracionalni broj gdje su . Rješenje ovog problema ćemo pronaći ako se prisjetimo diferencijskih jednadžbi drugog reda.
Poznato je da diferencijska jednadžba
ima opći oblik
gdje su rješenja jednadžbe
Vratimo se originalnom problemu: jednadžba s rješenjima upravo i je ona s karakterističkom jednadžbom
Iz toga slijedi da:
ima opći član upravo na koji možemo postaviti uvjet iz čega slijedi .
Pogledajmo sada u što teži omjer uzastopnih članova pod pretpostavkom :
To nam govori da
Primjetimo da ovom metodom sada možemo aproksimirati sve brojeve oblika OSIM čistih korijena (jer , dok je inaće ta vrijednost manja od 1). No, to nam ne predstavlja problem:
Ukoliko izaberemo broj bliske vrijednosti , primjerice , dobivamo odličnu konvergenciju prema broju iz kojeg još samo trebamo poništiti član te dobijamo .
Želimo aproksimirati broj . Aproksimirati ćemo ga pomoću pomoćnog broja kojega možemo izravno aproksimirati. Biramo:
sada vrijedi, iz prethodnog razmatranja, da
Ako ubacimo nekoliko brojeva unutra dobivamo:
Sljedeći kratki Python program implementira dani postupak:
a, b = 2, 2 for i in xrange(50): a, b = b, 2 * b + a print a, b print float(b-a) / a
Ovaj članak objavljen je pod
Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Croatia License